Затихващи трептения

Във всяка реална трептяща система действат сили на триене и съпротивление, които извършват работа върху системата, т.е. от гледна точка на системата извършената работа е отрицателна, в резултат на което механичната енергия на системата намалява, намалява и амплитудата на трептене. Казваме, че трептенето затихва. Всяко реално трептене, което не се поддържа отвън затихва. Нека се обърнем пак към пружинното махало (виж лекцията за хармонични трептения) като използваме въведените там означения.

Ако освен еластичната сила F_ел., действа и сила на триене F_тр. (силата на триене е пропорционална на скоростта на движение и обратно насочена)

F_тр.(t) = r v (t) = r ,

където r е коефициентът на триене, тогава уравнението на движение ще има вида

m a(t) = F_тр.(t) + F_ел.(t) m = r k x(t).

След въвеждане на означенията = , получаваме уравнението

. (1)

Уравнението (1) е общият вид на диференциалното уравнение на свободно затихващо линейно хармонично трептене, където х е трептящата величина, наричаме коефициент на затихване, е кръговата честота на свободното незатихващо трептене на същата трептяща система при = 0, т.е. когато няма загуба на механична енергия.

Общото решение на диференциалното уравнение (1) е от вида

x(t) = e ^t u(t). (2)

Да намерим вида на функцията u(t). За целта трябва да заместим функцията x(t) от (2) и нейните производни в уравнението (1).

= e ^t u + e ^t = e ^t ( u) (3)

(4)

Заместваме (2), (3) и (4) в (1) и изваждаме общия множител пред скоба:

e ^t .

e ^t 0 .