2. 1- А+В=В+А; 2- к(АВ)=кАкВ; 3- (lm)А=lА mА; 4- (lm)А=l(mА); 5- 1.А=А ; 6- (-1)А=-А; 7- 0.А=0; 8- к0=0. Скаларно произведение на векторите С(с1,с2сп) и Х(х1,х2хп) е число СХ=с1х1+с2х2++спхп.

Линейни зависимости: казваме че векторът Х е линейна комбинация на векторите А1,А2,Ар ако к1А1+к2А2+крАр=Х където к1,к2,кр е елемент на R. Ако кj c 0, j=1р и к1+к2+к3+..кп=1 - линейната комбинация е изпъкнала. Векторите А1,А2, Ар са линейни нзависими , ако к1А1+к2А2+крАр=0 само когато всички коефициенти кj са 0. Ако едното неравенство е изпълнено и поне един от коефициентите е 0, векторите са линейно зависими. Има 2 свойства: 1- ако една система от вектори е линейно зависима такава е и всяка нейна подсистема. 2- ако всяка подсистема на дадена система вектори е линейна зависимост, такава е и цялата система. Базис на дадена система от векторис ранг (мах брой лин.незав.вектори в една система) е r, се нарича всяка нейна подсистема съдържаща с линейни независими вектори.

Тема 2

матрицата е правоъгълна табл.от числа, разположени в редове и стълбове. Ако дадена матрица има т реда и n стълба, казваме, че има размер mxn. Ако m=n, матр.е квадратна, в противен случай тя е правоъгълна. Има матрица-стълб, матрица-ред, триъгълна матрица (квадратна матрица, на която под и над главният диагонал са 0), диагонална (квадрат.матр., в к различни от 0 са само елементите от главният диагонал), единична матр. Две матрици със еднаква размерност са равни ако са равни съответните им елементи.

Тема 3

С матриците могат да се дефинират следните действия - 1- две матр.с еднаква размерност се събират като се съберат съответните им елементи. Очевидно е че резултатът е матрица от същата размерност и че А+В=В+А. 2- произведените на дадена матр.А с числото К е матр.от същият вид и има елементи, к са произведения на съответните елементи на матр.А с числото К. 3- разлика на едноименни матр.е матр.от същият вид, елементите на к са разлики на съответните елементи на дадените матр. 4- умножението на 2 матр.е възможно само когато броят на стълбовете на порвата матр.е равен на броят на редовете на втората матр. Ако А=IIа_ikII_mxp , а В=IIb_kjII_pxn , то С=IIc_ijII_mxn . Ако А и В са квадратни матрици, детерминантата на произведението им е произведение на техните детерминанти т.е IAxBI = IAI x IBI. 5- транспонирането на дадена матр.А е действие при к редовете на А стават съответни стълбове на транспонираната й матр. А. Всяка квадратна матр.к е равна на своята транспонирана се нарича симетрична матр.

Тема 4

рангът на една матр.е равен на мах.брой линейни независими нейни редове. Рангът на редовете на дадена матрица е равен на ранга на нейните стълбове. Ако имаме А=IIa_ijII_mxn , нейният ранг може да бъде най-много равен на по-малкото от числата m и п. Намирането на ранга на дадена матр.става като редовете и се подлагат на елементарни преобразувания докато се получи стъпаловидна матр (матр.в к всеки неин ред първият ненулев елемент стои по-надясно от първият ненулев елемент на предходният ред). Тогава рангът на изследваната матр.е равен на броя на редовете на получената стъпаловедна матр. Елементарни преубразования: 1- смяна на местата на редовете; умножение (деление) на елементите на даден ред с число <> 0; 3- прибавяне на елемент на даден ред към съответните елементи на друг ред, умножени с едно и също <> 0 число; 4- отстраняване на нулев ред или на пропорционален ред. Квадратна матр А^-1 се нарича обратна на матр.А, ако А.А^-1 = А^-1.А=Е. От дефиницията за обратна матр.и от теоремата за детерминанта на произведените на две матр.се получава че det(A).det(A^-1)=det(E)=1. Теорема: всяка квадратна неизродена матр.има единствена обратна матрица. Свойства на обратната матр: 1- det(A^-1)=1det(A); 2- (АхВ)^-1 =В^-1х А^-1; 3- (А^-1)^-1=А; 4- (А^-1)=(А)^-1; 5- ако А е симетрична,то и А^-1 е симетрична.

Тема 8.

Един от най-често използваните варианти е задача за производството на мах обем продукция с помоща на ограничителни количества от налични ресурси. Да допуснум че предприятие произвежда п(j=1,n) вида продукция, като използва m(i=1,m) вида ресурси (суровини, гориво, оборудване и др.). за даден планов период наличните количества от тези ресурси са b_i единици. Известни са разходите а_ij на I-ти ресурс за производството на единица от j-та продукция. Нека със с_j е означена себестойноста на единица продукция от j-ти вид а с р_j - търговската цена. За обемите на произвежданата продукция от j-ти вид са дадени долната a_j и горната А_j граница. Необходимо е да се състави програма за производството на видовете продукция, като се отчитат наличните ресурси и наложените ограничения, к да осигури на предприятието мах.чиста печалба. Да означим х_j количеството единици продукция от j-ти вид, което следва да се произведе за плановият период. Тогава сумарната печалба Z от реализацията на произведената продукция при план на