Упражнение 8.

Интервални оценки на математическото очакване и дисперсията на

нормално разпределена случайна величина.

1. Доверителен интервал за математическото очакване ЕХ на нормално разпределена величина X с доверителна вероятност по извадка с обем n:

• ако Х= е известно: (1)

• ако Х не е известно: . (2)

• Определяне на обема на извадката, осигуряващ представителната грешка, не по-голяма от (при дадена доверителна вероятност ).

, ако е известно, или , ако Х не е известно и се оценява с (3)

2. Доверителен интервал за дисперсията DХ на нормално разпределена величина X с доверителна вероятност по извадка с обем n:

• ако ЕХ е известно: (4)

• ако ЕХ не е известно: (5)

Тук и са квантили на -разпределението с степени на свобода, а и - квантили на -разпределението с степени на свобода.

ЗАДАЧИ:

1) Автомат произвежда детайли с големина като точността на изработката е . От продукцията на автомата са взети детайла и е намерена средната на извадката. Ако и считаме, че разпределението на е нормално, то:

а) да се получат интервални оценки за средната стойност () на големината на произведените детайли с доверителни вероятности и .

б) Каква е представителната грешка при доверителна вероятност , допусната при даденото статистическо изследване.

в) Колко детайла трябва да съдържа извадката, за да бъде осигурена представителна грешка, която да бъде гарантирана с вероятност и която да не е по-голяма от .

Решение:

a) Точността на изработката отговаря на средно квадратичното отклонение на величината Х, следователно, в сила е формула (1). При от таблицата за стандартното нормално разпределение намираме квантила . Тогава ;

б) Представителната грешка при доверителна вероятност е ,

в) По формули (3) при дадено получаваме . Следователно, за да се гарантира представителна грешка при , обемът на извадката не може да по-малък от 97.

Варианти за самостоятелна работа:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

5) ; 6) ; 7) 8)