Събиране на хармонични трептения

Принцип на суперпозицията (на наслагването) на трептенията:

Принципът на суперпозицията отговаря на въпроса: Какво ще се случи, ако на една материална точка, след отклоняването й от равновесното й положение й действат повече от една възвръщащи сили?

Ако на една материална точка действат повече от една възвръщащи сили, тя извършва едновременно толкова хармонични трептения, колкото са възвръщащите сили. Всяко от тези трептения е независимо от останалите и се извършва така, както би се извършвало, ако не би имало останалите. Тези трептения се наслагват (събират) и в резултат, в общия случай, се получава сложно движение, различно от хармонично трептене.

Ние ще разгледаме най-простите частни случаи на наслагване на хармонични трептения, които са и най-често срещаните във физичните явления.

Ще използваме комплексното представяне на хармоничните трептения за опростяване на изводите.

Събиране на хармонични трептения

с еднакви направления и еднакви кръгови честоти

Нека

(1)

(2)

са две хармонични трептения с еднакви направления (направлението на оста Х) и еднакви кръгови честоти . Нека

z₁(t) = A₁ e^{i ( 0 t + 1)}

z₂(t) = A₂ e^{i ( 0 t + 2)}

са съответните им комплексни представяния. Нека означим сумата на тези две трептения (резултата от наслагването на двете трептения) с

x(t) = x₁(t) + x₂(t).

Нека z(t) = z₁(t) + z₂(t).

Тогава x(t) = Re z(t). (3)

z(t) = A₁ e^{i ( 0 t + 1)} + A₂ e^{i ( 0 t + 2)} = (A₁ e^{i 1} + A₂ e^{i 2}) e^{i 0 t} (4)

Нека въведем означението z,

z = A₁ e^{i 1} + A₂ e^{i 2} = eⁱ , (5)

където

= arctg , (6)

| z| ² = = (A₁ e^{i 1} + A₂ e^{i 2}) (A₁ e ^{i 1} + A₂ e ^{i 2}) = А₁² + А₂ ² + 2А₁ А₂ cos( _{2 1}). (7)

Нека въведем означението А = | z| .

От (4) и (5) z(t) = A e^{i ( 0 t + )}