13.Непрекъснати изображения в области на Скот.

Нека {(a_k¹ , a_k² ,, a_kⁿ)} е монотонно растяща редица от елементи на А.Нека а₁ е точната горна граница на редицата {a_k¹ } в А_1, а² е точната горна граница на редицата {a_k²} в А₂ и т.н., аⁿ e точната горна граница на { a_kⁿ } в А_{n .} Тогава (а¹ , а² , ...,аⁿ) е точната горна граница на редицата {(a_k¹ , a_k² ,, a_kⁿ)} в А. Едно тотално изображение f на А₁ в А₂ наричаме непрекъснато ако при всеки избор на монотонно растяща редица a₁ }₁a₂}₁... }₁a_к }₁... от елементи на А_1, f(a_k) е точната горна граница на редицата { f(a_k) } в А₂ . Компактните оператори от тип (n,r) са точно непрекъснатите изображения на F_n в F_r .Както при операторите непрекъснатитезображения се оказват монотонни.Нека f : А₁ А_{2 .} Изображението f е монотонно ако а }₁ b следва f(а) }₂ f(b).Всяко непрекъснато изображение f на А₁ в А₂ е монотонно. Нека f и g са елементи на (А₁ А₂ )Тогава f } g ако при всеки избор на елемент а от А₁ е изпълнено неравенството f (а) }₂ g(а). При тази наредба елементът Y на (А₁ А₂ ), определен като Y(а)= 2 , се оказва най-малкият елемент на (А₁ ђ А₂ ). Непрекъснатоста на Y се проверява непосредствено.Същата проверка показва и че всяко константно изображение на А₁ в А₂ е непрекъснато. Нека f₁} f₂}...} f_к}... е монотонно растяща редица от елементи на (А₁ ђ А₂ ). Нека а е фиксиран елемент на А_1. От монотонността на редицата {f_k } следва че {f_k (а)} е монотонно растяща редица от елементи на А₂ и следователно тя притежава точна горна граница f_k (а) в А₂ .Да дефинираме изображението h на А₁ в А₂ като положим h(а)=f _k(а). Изображението h е непрекъснато и h е точната горна граница на редицата {f_k }. Нека А₁ , А_2, А₃ са области на Скот. Нека f : А₁ А₂ и g: А₂ А₃ .Да образуваме композицията h= g⁰ f на f и g,като положим h(а)= g(f(а)) за всяко аА_{1 .} Ако f

и g са непрекъснати изображения то и композицията h= g⁰ f е непрекъснато изображение. Нека a₀ }₁a₁}₁... }₁a_к }₁... е монотонно растяща редица от елементи на А₁ .Тогава h(a_к)= g(f(a_к))= g(f(a_к))= g(f(a_к))= h(a_к).Нека f( А₁ А₂)и g( А₁ А₃).Образуваме изображението f‡g: А₁ А₂‡ А₃ , като положим f‡g(а)= f(а), g(а).Тогава f‡g(А₁ А₂‡ А₃).Казваме че елементът а на А е минимална неподвижна точка на f ако f(а)=а и всеки път когато f(b)= b имаме а }b. Казваме че а е кваизминимална неподвижна точка на f ако f(а) }а и всеки път когато f(b)}b е изпълнено а}b. Нека f е монотонно изображение на А в А и а е квазиминимална неподвижна точка на f.Тогава а е минимална неподвижна точка на f.Теорема на Кнастер-Тарски:Всяко непрекъснато изображение f на А в А притежава минимална неподвижна точка.Нека f₁ ,..., f_n са непрекъснати изображения на D съответно в А_1,... А_n . Тогава системата(*) притежава минимално решение. Казваме че b₁ ,..., b_n e квазирешение на системата (*) , ако са в сила неравенствата f_i (b ₁ ,.., b _n) } b _i , i=1,,n. Нека b₁ ,..., b_n e квазирешение на системата (*) , а a₁ ,.., a_n е минимално решение на (*) .Тогава a₁ ,.., a_n = d_к } b ₁ ,.., b _n .