2. Множеството F_n. Точни горни граници на F_n.

F_n={ f | f : NⁿN}

Свойства:

1. f_o f за всяка fF_n

2. Ако f g g f f=g

3. fg g h f=h

4. f f

(x, ) е частично наредено множество, ако то удовлетворява свойства 2,3 и 4 за f, g, h x

Твърдение: (Fn) е частично наредено множество.

Една редица f_o, f₁, f₂ от функциите, които принадлежат на F_n се нарича монотонна (растяща), ако f_o f₁ f₂

h е горна граница за редицата f_o, f₁, f₂ която е монотонно растяща, ако _n (f_n h)

h е точна горна граница за редицата f_o, f₁, f₂ която е монотонна, ако:

а) h е горна граница за f_o, f₁, f₂

б) за всяка горна граница g на f_o, f₁, f₂ е изпълнено, че h g

Означава: Ако h е точна горна граница за f_o, f₁, f₂, , то f_i = h

Твърдение: Ако f_o, f₁, f₂ е монотонна редица от елементи на F_n, то тя (редицата) притежава точна горна граница

Доказателство: hy_i(f_iy)

y₁=y₂

Нека y₁=y₂

Съществува i₁:f_i1y₁

Съществува i₂:f_i2y₂

i₂ i₁ или i₂=i₁

f_i1 f_i1+1

f_i2y₁ f_i2y₂

Нека f_iy h_iy

f_ih

h е горна граница на редицата f_o, f₁, f₂,

Доказваме, че hg

Нека hyi: f_iy gy hg

Твърдение: Нека f_o, f₁, f₂, е монотонна редица от елементи на F_n и _крайноf_i тогава k: f_k

Доказателство: Dom()={, , }

=y₁k₁:f_k1=y₁