7.Минимални решения на системни уравнения.Теорема Кнастер-Тарски.

Всяко непрекъснато изображение f на А в А притежава минимална неподвижна точка.Док.: Дефинираме редицата a₀ ,a₁ ,... от елементите на А посредством следната индуктивна дефиниция:

| a₀ =

| a_{к +1} = f(a_к)

С индукция по к ,използвайки монотонноста на f ,получаваме че редицата { a_к } е монотонно растяща.Нека а = a_к .Ще покажем че а е минималната неподвижна точка на f следва че f(а)= f(a_к)= f(a_к)= a_к+1 ,откъдето f(а) }а.НЕка f(b) } b.Синдукция по к получавамв,че a_к } b при всеки избор на к ,откъдето а= a_к } b.Така показваме,че а е квазиминимална точка на f и следователно съгласно предишното твърдение а е минимална неподвижна точка на f. Теоремата на Кнастер-Тарски може да бъде обобщена за системни уравнения.Нека А_i = А_i , }_i , _i, i=1,..,n, са ОС и D=А₁ ‡ ... ‡ А_n , }, е декартово произведение на А₁,.., А_n .С други думи , a₁ ,.., a_n } b ₁ ,.., b _n a₁ } ₁ b ₁ ^...^ a_n } _n b _n ,а= _{1 , n} .Нека f₁ ,..., f_n са изображения на D съответно в А₁ ,..., А_n .Казваме ,че a₁ ,.., a_n е минимално решение на системата f_i (Х₁ ,..., Х_n)= Х_i , i=1,..,n , ако са в сила равенствата f_i (a₁ ,.., a_n )= а_i , i=1,,n , за всяко решение b ₁ ,.., b _n на системата a₁ }₁ b ₁ ^...^ a_n }_n b _n ,т.е. a₁ ,.., a_n } b ₁ ,.., b _{n .} Нека f₁ ,..., f_n са непрекъснати изображения на D съответно в А₁ ,..., А_n .Тогава системата (*) притежава минимално решение .Док.:Означяваме с g изображението f₁ ‡... ‡ f_n на D в D. g е непрекъснато.А съгласно горната теорема g притежава минимална неподвижна точка a₁ ,.., a_n в D.Ще покажем че a₁ ,.., a_n е търсеното минимално решение.Имаме g(a₁ ,.., a_n ) = f₁ (a₁ ,.., a_n ),...,f_n (a₁ ,.., a_n ) = a₁ ,.., a_n .Следователно f_i (a₁ ,.., a_n )= a_i ,i =1,,n. Нека b ₁ ,.., b _n удовлетворява f_i (b ₁ ,.., b _n)= b _i ,i=1,,n.Тогава g(b ₁ ,.., b _n ) ₌ b ₁ ,.., b _n,откъдето a₁ ,.., a_n } b ₁ ,.., b _{n .} При приложенията на последната теорема често пъти се оказва необходимо да се използвува явната конструкция на минималното решение a₁ ,.., a_n .От доказателството на теоремата на Кнастер-Тарски следва че a₁ ,.., a_n = d_к , където d_о = ₁ ,..., _n и d_к+1 = g(d_к).Нека при i=1,,n положим а₀ⁱ = _i и а_к+1ⁱ = f_i (а_к¹ ,..., а_кⁿ).С индукция по к ще покажем че d_к = а_к¹ ,..., а_кⁿ .Твърдението е очевидно при к=0.Да предположим че d_к = а_к¹ ,..., а_кⁿ .Тогава d_к+1 = g(d_к)= f_i (а_к¹ ,..., а_кⁿ),..., f_n(а_к¹ ,..., а_кⁿ)= (а_к+1¹ ,..., а_к+1ⁿ).В крайна сметка като вземем предвид характеризацията на точните горни граници в декартови произведения на ОС ,получяваме a₁ ,.., a_n = а_к¹ ,..., а_кⁿ= а_к¹ ,..., а_кⁿ.Казваме че b ₁ ,.., b _n е квазирешение на системата (*) ако са в сила неравенствата f_i (b ₁ ,.., b _n) } b_i ,i=1,,n. Нека b ₁ ,.., b _n е квазирешение на системата (*) а a₁ ,.., a_n е минималното решение на (*) .Тогава a₁ ,.., a_n }b ₁ ,.., b _n.