4.Минимални неподвижни точки. Теорема на Кнастер-Тарски.

Нека Г е оператор от тип (n,n). Казваме че f е минимална неподвижна точка на Г ако Г(f)= f и всеки път когато g F_n и Г(g)= g имаме f } g. Нека Г е монотомен оператор от тип (n,n). Нека f е минималното решение на неравенството Г(Х) }Х, т.е. Г(f) } f и " g(Г(g) } g-> f } g). Тогава f е минимална неподвижна точка на Г.

док.: Имаме Г(f) } f. От тук поради монотомноста на Г получаваме че Г(Г(f)) }Г(f). Следователно Г(f) е решение на неравенството. От минималноста на f следва че f } Г(f). Нека за някое g е в сила Г(g)= g. Тогава Г(g) } g откъдето следва f } g. Ако оператора Г притежава минемална неподвижна точка то тя е единствена. Същото се отнася и до минималното решение на неравенството Г(Х) }Х. Следващото твърдение е частен случай на теоремата на Гнастер-Тарски. То показва че всеки непрекъснат оператор има минимална неподвижна точка. Забележителното в това твърдение е и самото доказателство което дава обш начин за построяване на минимални неподвижни точки. Всеки непрекъснат оператор Г от тип (n,n) притежава минимална неподвижна точка която е и минимално решение на неравенството Г(Х) }Х.

док.: За всяко к опеделяме частична ф-ция f _к посредством следната индуктивна дефиниция: f ₀ = €; f _к+1 =Г(f _к ). С индукция по к се вижда че f _к } f _к+1 .Ясно е че f ₀ = € } f ₁ . Да допуснем че f _к } f _{к+1 .} От моотомноста на Г следва че f _к+1 =Г(f _к) }Г (f _к+1 )= f _к+2 . Нека положим f=U f _к . Ще покажем че f е минималната неподвижна точка на Г. Използвайки непрекъснотостта на Г получаваме Г(f) = Г(U f _к )=U f _к+1. Тей като f е горна граница на редицата { f _к }, f e горна граница и на редицата { f _к+1 }. Следователно Г(f) } f . Нека g удовлетворява неравенството Г(g) } g.С индукция по к ще покажем че f _к } g. Това е очевидно при к=0. Нека предположим, че f _к } g. От монотонността на Г следва че f _к+1 = Г(f _к )}Г(g)= g. Така показахме че g е горна граница на редицата { f _к } откъдето следва че f=U f _к }g. Получихме че f е минималното решение на неравенството Г(Х) }Х откъдето по предишното твърдение следва че f е минимална неподвижна точка на Г.