17.Разпределение на Болцман.Барометрична формула.

Разпр. На Болцман- Разпределението при частиците в пространството при ТДР имат случаен характер.Нека вероятноста една конкретна частица да бъде намерена в обема dV=dx.dу.dz е dy .Тогава плътноста на вероятноста е 4(r) =dy / dv , като условието на нормиране е частицата да бъде някъде в разглеждания обем.

За идеален газ в отсъствие на външно поле и при условие на ТДР всички положения на частиците са равновероятни. Това означава ,че 4(r) = 4= const и условието за нормировка е v34(r)dV=v34dV=4V=1; 4=1/V .това може да бъде записано и 4=1/V.N/N=n/N където n = N/V е концентрацията, а N броя на всички частици в разглеждания обем V.

Когато ТДС се намира в силово поле, тогва f(r|в|) не е равно на const. Концентрацията n=dN/dV също е различна и зависи от r|в|, т.е. n=n(r|в|). КОгато разглеждаме ТДС в земното гравитационно поле, необходимото условие газът в обема dV да се намира в развновесие е mgdN=dPdS, където dN=ndV; dP-разликата в наляганията между долната и горната повърхности ограничаващи обема dV; dS=dxdy=>nmgdz=dP или при mg=G ще имаме dp=nGdz; Потенциалната енергия на една молекула която има маса т и се намира в земното гравитационно поле е W=mgz. Но G=-dw/dz. Следователно ще приеме вида dp=-n(dw/dz)dz или dp=-ndW. В условие на топлинно равновесие T=const. Ot P=nkt следва,че dp=KTdn. Така придобива вида kTdn=-ndW. Ако при w=0, n=n₀ и при енергия W частиците са n, то

3ⁿ_n0dn/n=-3^w₀dw/kt=>lnn/n₀=>-w/kt=>n=n₀e^-w/kt. Това е формила на Болцман за разпределяне на частиците в силово поле. За земното гравитационно поле W=mgz. При z=0, n=n₀. За плътността на вероятността получаваме f(r|в|)=dw/dv=n/n=(n₀/N)e^-w(r)/kt, а за самата вероятност dw=(n₀/N)e^-w/kt dV, кяото е закон на Болцман за разпределение на вероятността. За идеален газ от уравнението p=nkT следва, че може да бъде записана във вида P=P₀exp9-(mgz/kT)-тази зависимост е известна още като барометрична формула. От нея следва че при увеличаване на височината налягането намалява по експоненциален закон. При фиксирана височна, z=const, концентрацията на леките газюове е по-голяма от тази на тежките. Причината за това е зависимостта на w от маста на m. С това може да се обясни намаляване съдържанието на кислорода в атмосферния въздух с увеличаване на височината.