Работа на силите на електростатичното поле

Както вече знаем, ние можем да характеризираме едно електростатично поле със стойността на интензитета на полето във всяка точка от пространството. Интензитетът на електростатичното поле еднозначно определя (числено е равен на) силата, която би подействала на точков положителен заряд с големина единица, намиращ се в полето. Нека да изследваме работата, извършвана от тази сила.

Нека положителен точков електричен заряд q₀ с големина единица се движи от точка 1 до точка 2 по произволна насочена крива L с начало точка 1 и край точка 2 в електростатично поле, създадено от неподвижен точков електричен заряд q. Във всяка точка l от кривата върху заряда q₀ ще действа сила , където е стойността на интензитета на електростатичното поле в точка l от кривата.

Елементарната работа, извършена от тази сила при елементарното преместване на заряда q₀,

, (1)

където (l) е ъгълът който векторът сключва с вектора на елементарното преместване .

Нека изберем координатна система. За простота, да изберем началото на координатната система в точката, в която е поместен зарядът, създаващ полето. Големината на интензитета на електростатичното поле в точка l (с радиус вектор ) от кривата

, (2)

където r е разстоянието от източника на полето (големината на радиус-вектора ), е големината на вектора на интензитета на полето в точката l с радиус-вектор .

Следователно, ако q > 0, тогава

cos(l) dl = dr (3)

(виж чертежа по-горе), където dr е елементарното нарастване на променливата r (разстоянието от източника на полето).

Внимание: Тук . Векторният диференциал . Неговите компоненти dx, dy и dz са диференциалите на независимите променливи x, y и z.

Елементарната работа (виж (1), (2) и (3)),

dA(l) = q₀ dr (4)

Ако q < 0, тогава (виж чертежа по-горе)

cos(l) dl = dr, (5)

dA(l) = q₀ dr (6)

(виж (1), (2) и (5)). Следователно, за произволна точка l с радиус вектор _,

dA(l) = (7)

(виж (1), (4) и (6)), т.е. елементарната работа за произволна точка от кривата зависи единствено от положението на точката в електростатичното поле.