Принудени трептения

За да може в една реално трептяща система да се получат незатихващи хармонични трептения, трябва да се компенсира загубата на механична енергия с помощта на периодично действащ фактор, който се променя по хармоничен закон.

Ако разглеждаме механични трептения (ние разглеждаме пружинно махало), ролята на такъв фактор играе външна механична сила от вида

F(t) = F₀ cos( t). (1)

Тогава законът за движение ще бъде следният

m = r k x(t) + F₀ cos( t)

След въвеждане на означенията

= ,

получаваме диференциалното уравнение

. (2)

Диференциалното уравнение (2) наричаме диференциално уравнение на принудените трептения, а неговите решения принудени трептения.

Общото решение на нехомогенното диференциално уравнение (2) е сума от общото решение на съответното му хомогенно уравнение (хомогенно уравнение всички събираеми съдържат неизвестната функция или нейни производни)

. (3)

и едно частно решение на нехомогенното уравнение (2).

Ние вече знаем общото решение на диференциалното уравнение (3), това е уравнението на съответното затихващо трептене, т.е. трептенето, което би извършвала системата, ако след извеждането й от равновесие би била оставена сама на себе си, без въздействието на външни фактори. Нека означим това решение с х₁

x₁(t) = A ₀ e ^t cos( ₁ t + ₀), (4)

където , , a и са две произволни константи, които можем да определим от началните условия.

Да намерим едно частно решение на нехомогенното уравнение. Да вземем съответното уравнение за съответната комплекснозначна функция