6.Ред на Тейлор и ред на Лоран.Нули и изолирани особени точки.

Степенен ред:

1.

,

Th1.Всяка функция w=f(z) , аналитична в кръга (областта)

се развива в сходящ ред от вида 1. (в тази област) и това развитие е единствено.

Коефициентите се получават от следната формула:

2.

при n=0,1,2; Формула на Коши

_{n=0,1,2... n=0,1,2}

Нули на аналитична функция:

Df:Нека функцията w=f(z) e аналитична в точка z₀ .Тогава z₀ е n-кратна нула на f(z),ако Тейлоровия ред е от вида:

3.

3.1.

където

3.2. =0

където

Ред на Лоран

1.

2.a₀+a₁(z-z₀)+

+a₂(z-z₀)²++a_n(z-z₀)ⁿ

3. a_-1(z-z₀)^-1 +

+a_-2(z-z₀)^-2++a_-n(z-z₀)^-n

Th2 Всяка функция w=f(z) , аналитична в пръстена (r<</SPAN>R)

се развива в тази област в сходящ Лоранов ред от вида (1) и това развитие е единствено.

Коефициентите на реда се получават по следната формула:

4.

n=0,1, 2,

(l)-почасти гладка затворена линия от пръстена , съдържаща т.z₀ и интегрирането по нея е в положителна посока.

Изолирана осoбена точка

Df-т.z₀ ще наричаме изолирана за функцията w=F(z),ако в околност на тази точка е аналитична,а в тази точка аналитичността се нарушава.

а)Отстранима-ако ,

Лорановото развитие има само правилна част; б) особената точка z₀ e полюс

Ако аналитичната функция f(z) има т.z₀ за n-кратна нула ,то функцията

има т.z₀ за n-кратна полюс. в) особената т.z₀ е съществена Ако

не съществува или, ако в Лорановото развитие главната част има безброй много членове

7.Резидиуми.Теорема за резидиумите.

w=f(z), т.z₀ изолирана особена точка на f(z) Df1 Резидиум на функцията f(z) в особената точка z₀ ще наричаме коефициента а _-1 в Лорановото уравнение.

1)

2)

Теорема за резидиумите

Нека функциата w=f(z) е аналитична в областта (едносвързана) с изключение на краен брой изолирани особ.т. z_kD, k=1,,n

3)

(l)-граница на областта (почасти затворена и интегрираме в положителна посока)

Доказателство:

Резидиуми в полюс а)Нека т.z₀ -едноктратен полюс на w=f(z)

б)Нека z₀ m-краен полюс

в)Нека z₀ съществена особена точка- разлагане чрез Лорановото развитие и от там намираме

8.Ред на Фурие и условия за неговата сходимост

y=f(x) e деф. за -<</FONT>x<. Числото Т>0,за което е изпълн.

1) за x ,където Т-период

Т-избира се най-малкото Т>0 и се нарича основен период.

nT-период n=1,2,.

sin(x+2p)=sinx, cos(x+2p)=cosx

Свойство на периодичната функция(отместващо):

T-период

Основни тригонометрични системи функции

2)1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, , cosnx,sinnx

cosn(x+T)=cos(nx+nT)=cosnx

nT=2p,T=2p/n

-период на всички функции в системата

3)

Тригонометричен ред

4)

a_kcoskx+b_ksinkx=A_k(coskx.cosv_k+sinkx.sinv_k)=A_k(coskx-v_k)

a_k=A_kcosv_k; b_k=A_ksinv_k

5)

A_k-амплитуда на к-ти хармоник

-фаза на к-ти хармоник

Ортогонална система функции

6)

Системата (6) е ортогонална ,ако са изпълнени условия (7)и(8).

7)

8)

Основна тригоном. с-ма:

1, cosx, sinx,, cosnx, sinnx

Th1Нека y=f(x) се развива в равномерно сходящ тригонометричен ред в

9)

коефициенти на Фурие:

Тригонометричен ред с коефициенти на Фурие се нарича ред на Фурие.

Д-во:Умножаваме с cosnx и почленно интегриране:

Ред на Фурие за четни и нечетни функции

а)f(x)-четна (f(-x)=f(x))

b_k=0

б)f(x)-нечетна [f(-x)=-f(x)]

a_k,a₀=0

Условия за сходимост:

1)

2)

Критерий (условие) на Дирихле

Y=f(x) a)Функцията е непрекъсната или има краен брой точки на прекъсване от първи род в интервала.

б)интервалът (-p; p) може да се разбие на подинтервали във всеки от които функциата се изменя монотонно.

Th на Дирихле-Ако f(x) удово-летворява в интервала (-p; p) условието на Дирихле, то в този интервал функцията се представя в сходящ ред на Фурие, който има сума:

а)равна на ст-ста на функцията в тoчките на непрекъснатост от интервала

б)равна на [f(x+0)+f(x-0)]/2 в точките на прекъсване от интервала.

10.

9 Комплексна формула на реда на Фурие. Ред на Фуире, ф-я с произволен интервал.

Ред на Фурие и коеф. а_к и b_к

F(x)=a₀/2+_k=1a_kcos(kx) +b_ksin(kx) ; a_k=(1/)f(x)cos(kx)dx ; b_k= (1/)f(x)sin(kx)dx , k=0,1,;но е^-ikx=coskx-isinkx, е^ikx=coskx +isinkx coskx=(е^-ikx+е^ikx)/2 ; sinkx=(е^ikx-е^-ikx)/2i=i(е^-ikx-е^ikx)/2 a_kcoskx+b_ksinkx= a_k(е^-ikx+е^ikx) /2 + ib_k(е^-ikx-е^ikx)/2=[(a_k-ib_k)/2] е^ikx + [(a_k+ib_k)/2]е^-ikx ;

Означ.C₀=a₀/2 ; C_k=(a_k-ib_k)/2 ; C_-k=(a_k+ib_k)/2 f(x)=C₀+ _k=1(C_ke^ikx+C_-ke^-ikx)= C₀+_k=1C_k e^ikx +_k=1^-C_ke^-ikx ; f(x)=_k=1C_ke^ikx компл. ф-ла на реда на Фурие. C_k=(1/2) f(x) е^-ikxdx , k=0,1,...- обща ; C_k=(a_k-ib_k)/2=(1/2) f(x)(coskx-isinkx)dx

=(1/2) f(x) e^-ikxdx , k=1,2,...;C_-k= =(a_k+ib_k)/2= =(1/2). f(x)(coskx+isinkx)dx= =(1/2).

f(x)e^ikxdx , k=1,2, ;

Като обобщим 2^-те формули получаваме общата за С_к. ;

Ред на Фурие за произво-лен период. y=f(x) , x(-l,l) условие на Дирихле T=2l; f(x)=a₀/2+ _k=1a_kcosk+ b_ksink, x=(l/p) -полагаме (- , x (-l,l). Посредсвом субститу-

цията свеждаме инт. (-l,l) до (-.В този интервал развитието на Фурие за f() e: F()=a_o/2+_k=1a_k cosk+ +b_ksink като коеф. са:

a_k=(1/)F()cos (k)d ;

b_k= (1/)F()sin(k)d ; k=1,2, За да се върнем в ред на Фурие за f(x) полагаме =(/l)xd=(/l) dx ;(1)

Сменяме променливите в интервалите

-

x - l l

(1)

(2) f(x)=a₀/2 +_k=1a_kcos(kx/ l) +b_ksin(kx/ l)
(2) и (1) Ред на Фурие и аргументите за развитието на ф-ята в ред на Фурие за произволен интервал ;

Ред на Фурие в комплексна форма в произволен интервал f(x)=_k=1C_ke^ikx/l ; C_k=(1/2l)

f(x)e^-ikx/ldx ;k=0,1,2,; C₀= a₀/2 ; C_k=(a_k-ib_k)/2 ; C_-k= (a_k+ib_k)/2 , k=1,2,3, ;