1.Функция на комплексна променлива a)компл. равнина,област в КР

z=(x,y)-наредена двойка реални числа z=(x,y)=x+iy=

=|z|(cosv+isinv) x=Re(z);y=Im(z);

Множество от точки ще наричаме КР. x=rcosv; y=rsinv; r=|z|; tgv=y/x;

arg(z)=v 0v2p

Arg(z)=v+2kp,k=0;1;2

z- комплексна променлива

x,y-реални променливи

Околност на точки:

z₀=x₀+iy₀=(x₀,y₀)

z=x+iy |z-z₀|<</SPAN>q q>0 така че дефинира околност

Област в комп.равнина-

V отворено,свързано множество от точки в комплексната равнина

Ако всеки 2 точки от множеството могат да се свържат с непрекъсната линия и то изцяло принадлежаща на множеството,то множеството е свързано.

Множеството от гранични точки е граница

- затворена област

Ограничена област- когато всичките и точки принадлежат на кръг с краен радиус

|z|<1

Непрекъсната затворена крива(без самопресичане),това е граница

Границата може да се състои от много такива криви многосвързана; едносвързана

Редици в комплексната област: Ще разгледаме числена редица но с комплексни числа

e>0 d>0 Дф:{z_n} има за граница числото z₀=x₀+iy₀,ako за Ve>0 съществува N(e),такова че|z-z₀|<</SPAN>e.Ako тази дефиниция е изпълнена, то и тази редица се нарича сходяща.

Th:Редицата с общ член {z_n} е схдяща тогава и само тогава, когато {x_n}, {y_n} са сходящи.

Df:(ф-я на компл. променлива)

D-деф.множество

G-множество от ст/ти

D1:Ще казваме че в множ. D е дефинирана ф-я w=f(z), ако на V точка zD e съпоставена (по определен закон)една или няколко точки w.

В първия случай ф-ята е еднозначна а във втория многозначна.w=f(z) zD -> ф-ята на компл. променлива

w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

Граница на непрекъснатост

Нека ф-ята w=f(z) е дефинирана в окръжност на т.z₀ , ( самата точка може да не е дефинирана).Нека разгледаме числото

w₀=u₀+iv₀ и e,d>0 Дф2:Ще казваме, че ф-ята w=f(z) има в т.z₀ за граница числото w₀, ако за Ve>0 съществува d(e), така че при 0<</SPAN>|z-z₀| <</SPAN>d(e) е в сила неравенството:

|f(z)-w₀|<</SPAN>e Df не зависи от пътя по който z клони към z₀

Ако съществува граница (1), то съществуват и тези граници и обратното

Граница на ф-я на комп. променлива има своиства на граница на ф-я на две реални независими променливи

Непрекъснатост в точка:

Имаме т.z₀ и w=f(z)

z₀=x₀+iy₀

Допускаме че ф-ята на компл. променлива е дефинирана в околност на т. z₀ и самата нея.

Df3:Ф-ята w=f(z) е непрекъсната в z₀ ,ако се изпълнява условието:

За Ve>0 съществува d(e)>0, така че при |z-z₀|<</SPAN>d(e)

|f(z)-f(z₀)|<</SPAN>e

z-z₀=Dz нарастване на аргумента в т.z

f(z)-f(z₀)=Dw е нарастването на ф-ята

Тогава имаме::

|Dz|<</SPAN>d ; |Dw|<</SPAN>e;

На малко нарастване на аргумента съответства малко нарастване на ф-ята.

Непрекъснатост в област D:

Ако ф-ята е непрекъсната във V точка от облатта, то тя е непрекъсната в тази област.

2.Степенни редове. Някои елементарни ф-ии на комплексна променлива.

Дф1:

- ред в КО

Ако съществува

то казваме че (1) е сходящ и има за сума числото S.НУ за сходимост на (1)

Th: Нека реда (2)

е сходящ,то реда (1) сещо е сходящ и се нарича абсолютно сходящ.

Степенни редове в КО

- комп.коефициент z комп. променлива z = x + iy Th(Абел):Нека реда (3) е сходящ при . Тогава той е сходящ за V z ,при което

Следствие:Ако реда (3) е разходящ при ,то той е разходящ за V z,при което Дф: R0 се нарича радиус на сходимост за (3), ако при |z|<</SPAN>R реда (3) е сходящ ,а при |z|>R реда (3) е разходящ. |z|<</SPAN>R кръг на сходимост Критерий на Даламбер и Коши:

На Даламбер:

то R=1 / L

На Коши:

Елементарни ф-ии на компл. Променлива

Експоненциалната ф-я е периодична.

cos(z+2p)=cosz

аналогично

sin(z+2p)=sinz

Логаритмична ф-я:

Основно равенство,дефиниращо обратната ф-я

Функцията е многозначна.За да избегнем многозначността трябва да направим:

ln z=ln|z|+iv k=0-главна стоиност

3.Аналити4ни ф-ии.У-ие на Коши Риман

w=f(z) е дефинирана в околност на т. z₀

Ако съществува

то тя е производна на ф-я в т.z₀

Ако една ф-я има производна в дадена точка, то тя е дефирецируема в същата точка => ф-ята е непрекъсната.

В сила са табличните производни:

Диференциал: Дф:

Аналитична ф-я:

Нека w=f(z) е дефинирана D(z D) Дф:Ф-ята е аналитична в D,ако тя има производна във V точка от D Дф:Ще казваме, че w=f(z) е анлитична в точка,когато тя е аналитична в околност на тази точка. w=f(z);т.z₀ ф-ята е дефинирана в околност на z₀

Th:За да има ф-ята w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

производна в т. z₀= x₀+i y₀ е необходимо и достатъчно: а)ф-ите u(x,y) и v(x,y) в т. (x₀ ,y₀) да имат непрекъснати частни производни от първи ред

б) в т. (x₀ ,y₀) ф-ите u и v да удовлетворяват условията:

условия на Коши Риман

Th:Нека w=f(z) е непрекъсната в D.Тогава условията на Коши Риман са НДУ за аналитичност в дадена област.

4.Интеграл от ф-я на комплексна производна.Основна формула на Коши

4.1 w=f(z) Ще предположим че тази фя

а)f(z) е непрекъсната в D.Ще разгледаме една крива в тази област.С точки ще разбием кривата на части.Кривата е (l)

б)поставяме изисквания за кривата (l).

l по части гладка,ориентирана крива

Dz разликата м/у две съседни точки (дължината на съответната отсечка която свързва тези две точки).Избираме си във всяка една такава дъгичка n_к.Образуваме следната интегрална сума:

И ако съществува граница на тази интегрална сума:

и ще я наричаме криволинеен интеграл в/у l от ф-ята f(z).Ако са изпълнени условията а) и б),интеграл от 2) съществува.

Доказателство:

w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

Когато се замести в сумата и се преобразува ще се получи като сума от две интегрални суми, и може да се докаже ,че:

Нашата сума се представя като два криволинейни интеграла от втори ред. Като използваме тази

сума от два интеграла може да запишем следните свойства:

Ако линията l е точка ориентирана: 4.2

3)

4) (параметризация на интеграл )

Да предположим че линията l е зададена параметрично:

Основна ф-ла на Коши:

Независимост на криволинеен интеграл от 2-ри род от кривата на интегриране

Ако това е изпълнено, то частните производни са непрекъснати.

Th1:Нека да са изпълнени следните у-я:

а)D едносвързана област

б)w=f(z) e аналитична в D

Тогава е в сила ф-лата:

,къдато (l) е почасти гладка,затворена крива,изцяло лежаща в D

Д-во:

Допускаме, че u(x,y) и v(x,y) имат непрекъснати първи частни производни в D.

Тъй като f(z) е аналитична в D,то u и v удовлетворяват условията на Коши и Риман в D.

4.5.

f(z) е аналитична в D,ако е аналитична в G.

Двусвързана област:

l₁+l₂=r граници на областта.Така се въвежда положителна посока на интегриране

Th2:Нека :

а)D е двусвързана област със граница l=l₁+l₂; l₁, l₂ почасти, затворени, гладки криви

б)w=f(z) е аналитична в D.Тогава е в сила ф-лата:

където интегрирането по границата (l) е в полужителна посока.

Следствие:

Неопределен интеграл:

f(z);F(z) z D

F(z) е примитивна за f(z)

F(z)=f(z)

Формула на Нютон-Лаибниц

5.Основна формула на Коши и формула за производните

Th1.а)едносвързана затворена област с граница почасти глад-ка затворена крива()

б)w=f(z) е аналитична в

Тогава за всяко z₀ D е в сила формулата:

Интегрирането по () е в полож. посока.

Th2.Нека да се изпълни а) и б) от Th1. тогава има производна от произ-волен ред , която се дава по формулата (2):

, където

и интегрирането по () е в положителна посока .