11. Трансформация на Лаплас. Функция оригинал и функция образ. Образ на производна и интеграл.Ф-ия оригинал:

f(t)-оригинал, ако:

а)f(t)=0, при t<0; б)f(t) при t0 е непрекъсната или във всеки краен интервал има краен брой точки на прекъсване от ^ви род; в)за t>0 се изпълнява

|f(t)|<</SPAN>Me^o.t, M(const)>0, >0 , ₀-показател на рaстене на ф-ята f(t).Според тази дефиниция tg t,, 1/t не са оригинали.

Деф.1:Функцията на комплексна променлива

p=x+iy дефинирана с ра-венството: F(p)=-се нарича образ на оригинала f(t), зададен с трансформация на Лаплас. F(p)=L[f(t)] L-интегрален оператор , F(p) f(t)

(1) (Несобствен интеграл) F(p)=

p-комплексен параметър Теорема1: За всеки оригинал f(t) съществува образ F(p) де-финиран с трансформация на Лаплас (1), в полуравнината x>₀ ; ₀-показател на растене за f(t); Д-во:

|F(p)|=||

|e^-pt|=|e^-(x+iy)t|=e^-xt|e^-iyt|=(при комл.пром.)= e^-xt|cos yt- isin yt| = e^-xt = e^-xt |F(p)|=<</SPAN>

M=M==

^. (умножено с) =

|F(p)|=| |

интегралът е сходящ, т.е. показва,че интег-ралът на Лаплас (1) е сходящ, когато x>₀ теоремата е в сила. От теорема 1 могат да се докажат следните св-ва:

Св-во1:F(p)-ф-ия на компл. пром., образ при трансфор-мация на Лаплас, дефинирана с (1) е аналитична в полуравнината Re p>₀

Св-во2: F(p) при р клони към 0:

От |F(p)|

, p=x+iy

Св-во линейност: Образът на L[C₁f₁(t)+C₂f₂(t)]= C₁F₁(p)+ C₂F₂(p) ,когато L[f₁(t)]= F₁(p) и L[f₂(t)]= F₂(p).

Теорема2(за единственост на образа): Акo ф-иите f(t) и g(t) са непрекъснати и имат един и същ образ при трансформацията на Лаплас, то те са тъждествено равни.

Образ на поризводна: Нека а) f(t)- оригинал с показател на растене ₀ и образ L[f(t)]=F(p) б) f(t) оригинал; в сила е L[f(t)]=pF(p)-f(0)

Док-во: L[f(t)]==

==-=

=+p=pF(p)-f(0)+e^-ptf(t)=

= pF(p)-f(0)

|f(t)e^-pt|Me^оt|e^-pt|=Me^оte^-xt=

= Me ^{(a 0-x)t} при t За да клони Me-^(x-o)t към 0 при t, то трябва x₀ и x-₀>0 x>_0.

Образ на интеграл:Нека а) f(t) оригинал с показател на растене ₀ и образ F(p),т.е. L[f(t)]=F(p)

б) J(t)=. В сила е L[J(t)]=1/p F(p)

Док-во: L[J(t)]=(p)

J(t)= J(0)=0, J(t)=f(t) L[J(t)]=L[f(t)]=F(p),

L[J(t)]= p(p)-J(0) (образ на производна); J(0)=0

F(p)= p(p) (p)=1/p F(p)

12.Основни теореми на операционното смятане. Теорема за свиването.

1.Теорема за подобие:

L[f(t)]=(1/)F(p/) , >0

2.Теорема за закъснение:

L[f(t-)]=e^-pF(p),>0

3.Теорема за преместване:

L[e^-tf(t)]=F(p+),-компл. число

4.Теорема за диферен-циране на образ:

L[-tf(t)]=F(p)

Теорема 1: Док-во:

L[f(t)]====

=(1/)F(p/)

Пол: t=u/ , dt=(1/)du

Теорема 1 е валидна за Re p>max(₀,₀)

|f(t)|=|f(u)|<</SPAN>Me₀^u=Me₀^t

|f(t)|<</SPAN>Me₀^t Re p> max(₀,₀); ₀- показател на растене на f(t)

Теорема 4: Док-во:

L[-tf(t)]=F`(p)

F(p)= (диференцираме)

F`(p)==

=

F`(p)=L[-tf(t)], при Rep>₀

F(p)-аналитична;

Теорема за свиването:

J(t)= = =

Нека:

а)f₁(t),f₂(t)-оригинали с показатели на растене съот-ветно-₀, тогава е в сила ф-лата: L[J(t)]=F₁(p)F₂(p) и е валидно за Rep=x>max(₀,)

x>,>₀

Док-во:(Приемаме, че въз основа на св-вото на ориги-налите може да се док, че ако f₁,f₂- оригина ли,то (t) също е оригинал.

L[ (t)]==

Сменяме реда на интегриране по постоянни граници от 0

=

пол. t-=u, t=u+ dt=du

=

=

=F₁(p)F₂(p)

Построява се областа, в нея се смята двойния интеграл.

19.Статистически закони за разпределение. Статистически числови характеристики

X-непрекъсната случайна величина; n-опита; ₁, ₂, ₃...,_i,_n

Извадка с обем n на случайна величина X; x₁=min₁; x_N=max_i ;

x₁< x₂< x₃<< x_i<< x_n

m₁+m₂+m₃+..+m_i+...+m_n =n

Статистически закон за разпределение:

W_n=(X=x_i)=m_i/n;

Извадка с обем n да е представителна(тоест да е достатъчно голямо n)

w_n-честота, при която случ. в-на заема ст-ти от (x=x_i) i=1,n

m_i/n= W_n(x=x_i) i=1,n

; m₁++m_N=n

Статистическа ф-я на разпределение:

F_n-дължина на извадката

1)

Стат. ф-я на разпределение се дефинира чрез формула 1) и тогава графиката на тази ф-я ще в аналог на графиката на ф-ята на разределение на дискретна величина.

Статистическа плътност на разпределение:

P(x_i<</SPAN>X<</SPAN>x_i+1)f(x)x_i; x_i=x_i+1-x_i;

m_i/n=f_n^*(x) Dx_i -плътност;

x_i=x_i+1-x_i; i=1,2

2)

x (x_i,x_i+1]

Хистограма-начупената линия, която се получава

Статистически числови характеристики:

Статистическо математическо очакване

(3)

3.1

Полагаме m_i=1 и получаваме същото.

Статистическа дисперсия:

4.1)

4.2) m_i=1

20.Статистически оценки. Доверителен интервал и доверителна вероятност

Х-случайна непрекъсната величина с предполагаем закон на разпределиние f(x); n-опита; x₁, x₂, x_n извадка с обем n; m_x-матем. очакване; D_x дисперсия;

и да остановим, че

m_xm_n

D_xD_n (оценка) Дава приблизителна оценка.

Теоретично можем да я разгледаме като редица от случ. в-ни.

x₁, x₂ x_n-случ. в-ни с едни и същи разпределени възможни ст-ти {X_i=x_i} i=1,n

X_i i=1,n еднакво разпределени X и са независими

Една възможна стойност е

Тогава ще искаме, за нашата величина да е оценка и тогава трябва да има следните свойства:

а)неизместеност

б) състоятелност

>0 n (закон за големите числа)

Числови характеристики на случ. в-на

X_i-независимо и еданкво разпр. М[X_i]=m_x

_m(D_n/n)

_m-средноквадр. отклонение

Доверителен интервал и доверителна вероятност.

доверителна вероятност:

=0.9;0.99(около 1) Тогава наричаме доверителена вероятност

(m_n-, m_n+) доверителен интервал

X да има нормално разпределение

(централна гр. теорема)

-закон за разпределние близък до нормалния закон при достатъчно голямо n

Алгоритъм:

1)Определяне на m_n

_{2)Oпределяне на Dn}

3)Определяне на _m

_{4)Изчисляване на}

5)Сравняване на Џ с Џ номи-нално:

-да край

-не e= e/2 и преминаваме към 4)

Ако алгоритъма не може да се реализира трябва да се увеличи обема на извадката.