УПРАЖНЕНИЕ N6

ИЗСЛЕДВАНЕ НА СПЕКТЪРА ЧРЕЗ БЪРЗО ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ФУРИЕ

6.1. Цел на упражнението

Упражнението има за цел да се проведат експериментални изследвания на корелационните функции на различни сигнали.

6.2. Теоретични сведения.

Дискретните преобразувания на Фурие изразяват връзката между даден дискрен дискретен сигнал и неговият спектър.

Правото дискретно преобразуване на Фурие (ПДПФ) се описва с израза

(6.1) , (k=0,1,2,....,N -1).

където:Т е интервалът на дискретизация, n- номерът на дискретния отчет на сигнала, N- броят на дискретните отчети на този сигнал, k- номерът на съставката в дискретния спектър, - интервалът между две съседни съставки в дскретния спектър.

Обратното дискретно преобразуване на Фурие (ОДПФ) може да се получи от

(6.2) , (n=0,1,2,....,N -1).

Бързото преобразуване на Фурие (БПФ) е алгоритъм, който аналогично на дискретното преобразуване на Фурие (ДПФ) отразява връзката между дискретния сигнал и неговия спектър. За разлика от ДПФ обаче, това се извършва при значително намаление на обема на необходимите изчисления. Ако даден дискретeн сигнал се описва с N дискрета, при ДПФ е необходимо да се извършат N² на брой операции умножение и N² операции сумиране на комплексни числа, което в зависимост от конкретния случай може да изисква изисква разход на значително машинно време. Бързото преобразуване на Фурие е възможно да се реализира по различни алгоритми, което се определя съобразно решаваната задача. Ако дискретите се разгледат като редица, от нея по определен критерии могат да бъдат създадени две други редици- съответно на дискретите с четни и нечетни номера. Така създадените редици се разделят отново по същия принцип, докато се достигне минимален брой на дискретите в тях. Този начин се нарича разделяне по време. Оптимален е вариантът, когато броят на дискретите N е точна степен на 2.

Нека е зададена редицата от дискрети , като е цяло число. За получаване на спектъра на сигнала е необходимо да се използва правото ДПФ (6.1). Ще приемем броят на дискретите , а за краткост ще означаваме спектърът с и дискретите с - фиг. 6.1а.

S₀ S₆

S₁ S₂ S₇

а) S₃ S₄

S₅

0 1 2 3 4 5 6 N-1

X₀ X₁ X₃

б) X₂

0 1 2 N/2

Y₀ Y₁ Y₃

в) Y₂

0 1 2 N/2

фиг. 6.1

Да означим дискретите с четни номера съответно с (фиг. 6.1б), а дискретите с нечетни номера - с (фиг. 6.1в). Получените редици