Изчисляване на детерминанта
(A-λnI)xn=0
Числата λn се наричат собствени стойности на матрицата А (говорим още за спектър на собствените стойности) а n-мерните вектори х се наричат собствени вектори. Преди да се запознаем по-подробно с някои методи за намиране на собствените стойности и вектори на една матрица ще припомним някои основни понятия и свойства свързани с матриците:
-
Една матрица се нарича симетрична ако е равна на транспонираната си:
А=АТ или аij=aji;
-
Една матрица се нарича Ермитова ако е равна на комплексно спрегнатата на транспонираната си:
А=А*Т=А†
За реални матрици понятията Ермитова и симетрична съвпадат.
-
Една матрица се нарича ортогонална ако транспонираната й е равна на обратната й
АТ.А=А-1.А=I
-
Една матрица се нарича нормална ако комутира с Ермитово спрегнатата си
А†.А=А.А†.
Всяка Ермитова матрица е нормална (обратното не е вярно – не всяка нормална матрица е Ермитова). Собствените вектори на една нормална матрица образуват пълен базис в n-мерното пространство.
5. Ако собствените стойности на една матрица са λn, то собствените стойности на Ермитово спрегнатата й са комплекно спрегнатите числа .
Оттук следва, че собствените стойности на всяка Ермитова матрица са реални.
Равенството (1) представлява една хомогенна система от n линейни уравнения с n неизвестни xn. Както е известно такава система има нетривиално решение само ако детерминантата й е нула:
(7)
или разписано подробно за квадратна четиримерна матрица:
(8)