(A-λ_nI)x_n=0

Числата λ_n се наричат собствени стойности на матрицата А (говорим още за спектър на собствените стойности) а n-мерните вектори х се наричат собствени вектори. Преди да се запознаем по-подробно с някои методи за намиране на собствените стойности и вектори на една матрица ще припомним някои основни понятия и свойства свързани с матриците:

1. Една матрица се нарича симетрична ако е равна на транспонираната си:

А=А^Т или а_ij=a_ji;

2. Една матрица се нарича Ермитова ако е равна на комплексно спрегнатата на транспонираната си:

А=А*^Т=А^†

За реални матрици понятията Ермитова и симетрична съвпадат.

3. Една матрица се нарича ортогонална ако транспонираната й е равна на обратната й

А^Т.А=А^-1.А=I

4. Една матрица се нарича нормална ако комутира с Ермитово спрегнатата си

А^†.А=А.А^†.

Всяка Ермитова матрица е нормална (обратното не е вярно – не всяка нормална матрица е Ермитова). Собствените вектори на една нормална матрица образуват пълен базис в n-мерното пространство.

5.      Ако собствените стойности на една матрица са λ_n, то собствените стойности на Ермитово спрегнатата й са комплекно спрегнатите числа .

Оттук следва, че собствените стойности на всяка Ермитова матрица са реални.

            Равенството (1) представлява една хомогенна система от n линейни уравнения с n неизвестни x_n. Както е известно такава система има нетривиално решение само ако детерминантата й е нула:

                                                                                                                 (7)

или разписано подробно за квадратна четиримерна матрица:

                                                                                 (8)

Публикувано от: Антоанета Симеонова Христова